在西元前五世紀時，數學家最大的挑戰是計算面積的問題，從而發展出平方化的問題，即是 :

使用無刻度直尺與圓規作出一正方形，使其面積等於一原有平面圖形的面積。若這個正方形可被畫出時，則此種圖形稱為可平方化[squarable，或稱可正方形(quadrable)]圖形。

未看新月形平方化之前，我們先了解什麼才是平方化。

 

(1) 長方形面積的平方化解法 :

BCDE為一任意長方形，我們用無刻度直尺與圓規作出面積與BCDE相等的正方形。首先使用直尺將BE向右延伸，再用圓規標示出與DE線段等長的線段EF，亦即EF = ED。將線段BF等分於G點(用直尺及圓規達成)，而以BG = FG 為半徑畫出半圓，再畫出EH垂直於BF，半圓周與垂直線相交於H點，由此即可做出正方形EKLH。

 

現在想證正方形的面積等於長方形的面積，從而證明長方形可平方化。

由於三角形GEH為直角三角形，由畢氏定理可知道 a² = b²+ c² ，FG、BG、HG皆為半圓的半徑，故FG = BG = HG = a，因此 EF = FG - EG = a - b，BE = BG + GE = a + b

 

長方形BCDE的面積 = (底) * (高)

                          = (BE) * (ED)

                          = (BE) * (EF)

                          = ( a + b )( a - b )

                          = a² - b²

                          = c² = 正方形EKLH的面積

證明了長方形是可以平方化的。

 

(2) 三角形也可以平方化的，因為任何三角形，總可切成長方形，既然長方形可平方化，那麼三角形亦可。

 

(3) 主要定理 : 新月形平方化

 

新月形即是由兩個圓弧所圍繞成的圖形。

希波克拉底斯只證明了由他畫的新月形，而不是所有新月形。

他首先做出一個和新月形相同面積的三角形，作法如下 :

首先畫出一個半圓，O點為圓心，半徑為OA = OB。做出AB的垂線OC並與半圓在C點相交，再將AC與BC相連。取AC中點D，以AD為半徑，D點為圓心畫出一半圓AEC，AECF即為新月形。

證平方化 : (即證黑色部份與灰色部份相等)

 

因為∠ACB內接半圓之內，所以是直角。△AOC與△BOC全等，故AC = BC。由畢氏定理我們知道

 

(AB)² = (AC)² + (BC)² = 2(AC)²

 

由於AB為半圓ACB的直徑，AC為半圓AEC的直徑，因此可以知道 :

半圓AEC面積 / 半圓ACB面積 = (AC)²/(AB)² = (AC)²/2(AC)² = 1/2

換句話說，半圓AEC的面積為半圓ACB面積的一半。

 

我們再看四分一圓AFCO，它的面積為半圓ACB的一半，所以

半圓AEC面積 - AFCD面積 = 四分之一圓AFCO面積 - AFCD面積

    

由上圖兩個圖形面積相等(AECD = ACO)，我們可以得出 :

新月形AECF面積 = 三角形ACO面積

 

三角形是可平方化的，所以新月形也可以平方化。

證畢。